Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax²上的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，且x1x2=-

1

2

，则m的值为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  5

  4

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，A点坐标是（x₁，2x₁²），B点坐标是（x₂，2x₂²） A，B的中点坐标是（

x1+x2

2

，

2x12+2x22

2

） 因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直

2x12+2x22

2

=

x1+x2

2

+m，由此能求得m．

解答：解：y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，
A点坐标是（x₁，2x₁²），B点坐标是（x₂，2x₂²），
A，B的中点坐标是（

x1+x2

2

，

2x12+2x22

2

），
因为A，B关于直线y=x+m对称，
所以A，B的中点在直线上，
且AB与直线垂直

2x12+2x22

2

=

x1+x2

2

+m，

2x22-2x12

x2-x1

=-1，
x₁²+x₂²═

x1+x2

2

+m，x₂+x₁=-

1

2

，
因为x1x2=-

1

2

，
所以xx₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

5

4

，
代入得

5

4

=-

1

4

+m，求得m=

3

2

．
故选B．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．