Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且

OA

•

OP

=72，则点P横坐标的最大值为

 

．

Answer 1

分析：根据向量共线定理设

OP

=λ

OA

，结合题意算出λ=

72

|OA| 2

．设A（x，y）、P（m，n），由向量的坐标运算公式，化简得m=λx=

72

9 x + 16 25 x

，再利用基本不等式求最值，可得当A点横坐标为

15

4

时，P点横坐标的最大值为15．

解答：解：∵点P在线段OA的延长线上，
∴设

OP

=λ

OA

（λ＞1），由

OA

•

OP

=72得λ

|OA|

2=72，可得λ=

72

|OA| 2

．
设A（x，y），P（m，n），则
可得m=λx=

72

x2+y2

•x=

72

x2+9(1- x2 25 )

•x=

72

9+ 16x2 25

•x=

72

9 x + 16 25 x

，
为了研究点P横坐标m的最大值，根据A点在椭圆上，设x∈（0，5），
可得

9

x

+

16

25

x≥2

9 x • 16 25 x

=

24

5

，
∴m=

72

9 x + 16 25 x

≤

72

24 5

=15，
由此可得：当且仅当

9

x

=

16

25

x，即A点横坐标x=

15

4

时，P点横坐标的最大值为15．
故答案为：15

点评：本题已知椭圆上的动点满足的条件，求点P横坐标的最大值．着重考查了向量的数量积及其运算性质、向量的坐标运算公式、基本不等式与椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．