Question

【题目】为了保护环境，2015年合肥市胜利工厂在市政府的大力支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为：且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．

（1）当时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

Answer 1

【答案】（1）该工厂不会获利，；（2）．

【解析】

试题分析：（1）当时，设该工厂获利为，当时，，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴万元，才能使工厂不亏损；（2）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：再利用导数求出其最值即可．

试题解析：

（1）当时，设该工厂获利为万元，则，

所以当时，，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，才能使工厂不亏损．

（2）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

①当时，，所以，

所以时，，为减函数；

时，，为增函数，

所以当时，取得最小值，即；

②当,,

当且仅当，即时，取得最小值，

∵，∴当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．