Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（1）求证：B₁D₁⊥AE；
（2）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析：（1）连接BD，则BD∥B₁D₁，可先证明CE⊥面ABCD，进而可知BD⊥面ACE．从而有B₁D₁⊥AE．
（2）利用等体积转化，V_A-BDE=V_E-ABD，故可求．

解答：
解：（1）证明：连接BD，则BD∥B₁D₁，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵CE⊥面ABCD，
∴CE⊥BD．
又AC∩CE=C，
∴BD⊥面ACE．
∵AE?面ACE，
∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．-----------（6分）
（2）S_△ABD=2
VA-BDE=VE-ABD=

1

3

×S△ABD×CE=

2

3

．-----------（12分）

点评：本题以正方体为载体，考查立体几何中的位置关系、体积．关键是掌握线面垂直的判定．