Question

8．已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若$\frac{1}{3}$≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（3）在（2）的条件下，求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的符合，结合二次函数的性质，从而判断出函数的单调性；
（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的单调区间，从而求出函数的最值，进而求出g（a）的解析式；
（3）根据a的范围，求出g（a）的单调性，从而求出g（a）的最小值．

解答 解：（1）a=0时：f（x）=-2x+1，函数在R上递减，
a＞0时：f（x）的对称轴x=$\frac{1}{a}$，函数f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增，
a＜0时：f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减；
（2）∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴f（x）的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x=$\frac{1}{a}$∈[1，3]．
∴f（x）有最小值N（a）=1-$\frac{1}{a}$．
当2≤$\frac{1}{a}$≤3时，a∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，f（x）有最大值M（a）=f（1）
=a-1；
当1≤$\frac{1}{a}$＜2时，a∈（$\frac{1}{2}$，1]，f（x）有最大值M（a）=f（3）
=9a-5；
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2+\frac{1}{a}，\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}}\\{9a-6+\frac{1}{a}，\frac{1}{2}＜a≤1}\end{array}\right.$
（3）设$\frac{1}{3}$≤a₁＜a₂≤$\frac{1}{2}$，则g（a₁）-g（a₂）
=（a₁-a₂）（1-$\frac{1}{a1a2}$）＞0，
∴g（a₁）＞g（a₂），
∴g（a）在[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上是减函数．
设$\frac{1}{2}$＜a₁＜a₂≤1，则g（a₁）-g（a₂）=（a₁-a₂）（9-$\frac{1}{a1a2}$）＜0，∴g（a₁）＜g（a₂），
∴g（a）在（$\frac{1}{2}$，1]上是增函数．
∴当a=$\frac{1}{2}$时，g（a）有最小值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．