题目内容

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，M为抛物线弧AB上的动点．
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）求S_△ABM的最大值．

解：（1）由条件知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
消去y得： $\text{[math]}$ ，
则x₁+x₂=3p，由抛物线定义得|AB|=x₁+x₂+p=4p
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y²=4x．
（2）由（1）知|AB|=4p和 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，
则M到AB的距离为： $\text{[math]}$ ，
因点M在直线AB的上方，所以 $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 知 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ，则当y₀=p时， $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$
分析：（1）先联立直线方程和抛物线方程，得到x₁+x₂的值，再根据抛物线定义，得到焦点弦的弦长公式，
代入并解得p，从而求得抛物线的方程为y²=4x．
（2）设 $\text{[math]}$ ，根据直线AB的方程得到用y₀和p表示的点M到AB的距离d．又根据点M在直线AB的上方
解得y₀的范围，即求出了d的最大值，再代入面积公式，可求得S_△ABM的最大值．
点评：本题考查抛物线的定义，及焦点弦公式，关键是点到直线的距离公式的灵活运用和抛物线上点坐标的巧妙设法．

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如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，M为抛物线弧AB上的动点．
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）求S_△ABM的最大值．

如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y²=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于两点A，B，
（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；
（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求△ABC的面积S的最大值；
（3）设P是抛物线Ω上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量

=(-p，0)平移得到直线l，N为l上的动点，M为抛物线弧AB上的动点．
（Ⅰ）若|AB|=8，求抛物线方程．
（Ⅱ）求S_△ABM的最大值．
（Ⅲ）求

的最小值．

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量

=(-p，0)平移到直线l，N为l上的动点．
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）求

的最小值．

（本题满分12分）

如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B。

（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；

（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求的面积S的最大值；

（3）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）