Question

已知x₁，x₂∈（0，π）且x₁＜x₂，则下列五个不等式：
①

sinx1

x1

＜

sinx2

x2

；
②sinx₁＜sinx₂；  
③

1

2

（sinx₁+sinx₂）＜sin（

x1+x2

2

）；
④sin

x1

2

＞sin

x2

2

；  
⑤

sin x1 2

x1

＞

sin x2 2

x2

．  
其中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,正弦函数的单调性

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：①令f（x）=

sinx

x

（x∈（0，π）），则f′(x)=

xcosx-sinx

x2

，再令u（x）=xcosx-sinx（x∈（0，π）），再一次求导即可得出f（x）=

sinx

x

在x∈（0，π）单调递减，因此①不正确；
②由于函数f（x）=sinx在(0，

π

2

]单调递增，在[

π

2

，π)单调递减，因此sinx₁＜sinx₂，不成立；
③取x1=

π

4

，x₂=

π

2

，经验证可知：不成立；
④考察函数f(x)=sin

x

2

在区间(0，

π

2

]单调递增，即可判断出；
⑤

sin x1 2

x1

＞

sin x2 2

x2

即

sin x1 2

x1 2

＞

sin x2 2

x2 2

，由①即可判断出．

解答： 解：①令f（x）=

sinx

x

（x∈（0，π）），则f′(x)=

xcosx-sinx

x2

，
再令u（x）=xcosx-sinx（x∈（0，π）），则u′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0，
∴函数u（x）在（x∈（0，π））单调递减，∴u（x）＜u（0）=0，
∴f′（x）＜0，因此f（x）=

sinx

x

在x∈（0，π）单调递减，∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＞f（x₂），

sinx1

x1

＞

sinx2

x2

，因此①不正确；
②∵函数f（x）=sinx在(0，

π

2

]单调递增，在[

π

2

，π)单调递减，因此sinx₁＜sinx₂，不成立；
③

1

2

（sinx₁+sinx₂）＜sin（

x1+x2

2

），取x1=

π

4

，x₂=

π

2

，经验证可知：不成立；
④考察函数f(x)=sin

x

2

在区间(0，

π

2

]单调递增，∴sin

x1

2

＜sin

x2

2

，因此不正确；
⑤

sin x1 2

x1

＞

sin x2 2

x2

即

sin x1 2

x1 2

＞

sin x2 2

x2 2

，由①可知：正确．
其中正确的序号是⑤．
故答案为：⑤

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．