Question

5．已知动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍．
（1）求动点A的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx-5与轨迹C没有公共点，求k的取值范围；
（3）求直线x+y-4=0被轨迹C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）利用动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍，建立方程，化简，可得动点A的轨迹C的方程；
（2）直线y=kx-5与x²+y²=16联立，直线y=kx-5与轨迹C没有公共点，△=100k²-36（1+k²）＜0，即可求k的取值范围；
（3）求出圆心（0，0）到直线x+y-4=0的距离，即可求直线x+y-4=0被轨迹C截得的弦长．

解答 解：（1）∵动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍，
∴$\sqrt{（x-8）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
∴x²+y²=16；
（2）直线y=kx-5与x²+y²=16联立，可得（1+k²）x²-10kx+9=0，
∵直线y=kx-5与轨迹C没有公共点，
∴△=100k²-36（1+k²）＜0，
∴-$\frac{3}{4}$＜k＜$\frac{3}{4}$；
（3）圆心（0，0）到直线x+y-4=0的距离为2$\sqrt{2}$，
∴直线x+y-4=0被轨迹C截得的弦长为2$\sqrt{16-8}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定轨迹方程是关键．