Question

16．如图，矩形BB₁C₁C所在平面与底面ANB₁B垂直，在直角梯形ANB₁B中，AB⊥AN，CB=BA=AN=4，BB₁=8，AN∥BB₁．
（Ⅰ）求直线AB和C₁N所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅲ）求BB₁与平面C₁BN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间直角坐标系，根据向量的夹角公式即可求出直线AB和C₁N所成的角的余弦值，
（Ⅱ）根据${\overrightarrow{N{B}_{1}}}_{\;}$•$\overrightarrow{BN}$=0，$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0得到B₁N⊥BN，BN⊥B₁C₁，然后证明BN⊥平面C₁B₁N，
（Ⅲ）求出平面C₁BN法向量，设BB₁与平面C₁BN所成角的角为α，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$与向量为$\overrightarrow{n}$的夹角为β，根据向量的夹角公式求解即可．

解答 解：（I）以BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A=（4，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4），
∴$\overrightarrow{BA}$=（4，0，0），$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=（4，-4，-4），
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=16，|$\overrightarrow{BA}$|=4，|$\overrightarrow{{C}_{1}N}$|=4$\sqrt{3}$，
设直线AB和C₁N所成的角为θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{{C}_{1}N}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{{C}_{1}N}|}$=$\frac{16}{4×4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${\overrightarrow{N{B}_{1}}}_{\;}$=（-4，4，0），$\overrightarrow{BN}$=（4，4，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，0，4）
∴${\overrightarrow{N{B}_{1}}}_{\;}$•$\overrightarrow{BN}$=0，$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0，
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，
∵NB₁∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N．
（Ⅲ）∵$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，8，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，8，4）
设平面法平面C₁BN向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BN}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{4x+4y=0}\\{8y+4z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=-8，|$\overrightarrow{B{B}_{1}}$|=8，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$，
设BB₁与平面C₁BN所成角的角为α，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$与向量为$\overrightarrow{n}$的夹角为β，
∴sinα=|cosβ|=|$\frac{\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{B}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{8}{8×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查空间向量的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，线面角，线线角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力，属于中档题．