Question

已知圆C：（x-a²）²+（y-a）²=

1

64

（a∈R），则下列命题：
①圆C上的点到（1，0）的最短距离的最小值为

7

8

；
②圆C上有且只有一点P到点（

1

8

，0）的距离与到直线x=-

3

8

的距离相等；
③已知A（

3

8

，0），在圆C上有且只有一点P，使得以AP为直径的圆与直线x=

1

8

相切．
真命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,关于点、直线对称的圆的方程,直线与圆相交的性质

专题：直线与圆,简易逻辑

分析：利用动圆圆心与（1，0）的距离减去圆的半径求出最小值判断①的正误；
利用动圆圆心轨迹方程结合动圆的半径，判断②的正误；
利用动圆圆心轨迹方程结合动圆的半径，说明以AP为直径的圆与直线x=

1

8

相切，判断③的正误．

解答： 解：对于①，动圆圆心与（1，0）的距离减去圆的半径为：

(a2-1)2+a2

-

1

8

=

(a2- 1 2 )2+ 3 4

-

1

8

≥

3

2

-

1

8

≠

7

8

，
∴①不正确．
对于②，已知动圆C的圆心（a²，a）的轨迹方程为：y²=x，
∴动圆C构成的轨迹为夹在抛物线y²=x-

1

8

和抛物线y²=x+

1

8

之间的部分（包括边界），
抛物线y²=x+

1

8

是以点（

1

8

，0）为焦点以直线x=-

3

8

为准线的抛物线方程，∴圆C上有且只有一点P到点（

1

8

，0）的距离与到直线x=-

3

8

的距离相等；
这个点就是抛物线与x轴的交点．②正确．
对于③，A（

3

8

，0），在圆C上有且只有一点P，使得以AP为直径的圆与直线x=

1

8

相切．
动圆圆心与（

3

8

，0）的距离减去圆的半径为：

(a2- 3 8 )2+a2

-

1

8

=

(a2+ 1 8 )2+ 8 64

-

1

8

≥

3

8

-

1

8

=

1

4

，当且仅当a=0时等号成立．
此时在圆C上有且只有一点P（

1

8

，0），使得以AP为直径的圆与直线x=

1

8

相切．③正确．
∴②③满足题意．
故选：C．

点评：本题考查命题的真假的判断与应用，直线与圆的位置关系，曲线轨迹方程的综合应用，难度比较大．