Question

（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足,且,其中.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并加以证明.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅰ）因为,即………2分
又,所以有,所以…………3分
所以数列是公比为的等比数列，由得,解得……4分
故数列的通项公式为…………5分
（Ⅱ）因，………6分，所以
即数列是首项为,公比是的等比数列，所以…………7分
则，又
………9分
当时，
当时，，当时，
猜想：（）…………10分，下面用数学归纳法证明
①当时，,上面不等式显然成立；………11分
②假设当时，不等式成立…………12分
当时，………13分
综上①②对任意的均有
又，所以对任意的均有…………14分
证明二：(Ⅱ) 因，………6分，所以
即数列是首项为,公比是的等比数列，所以…………7分
则，又
………9分
当时，………10分
因为………12分
∵，∴………13分
，即对任意的均有………14分