题目内容

在△ABC中，E，F分别为边AB，AC上的点，且
AE
=
EB
，
AF
=2
FC
，若
BC
=m
CE
+n
BF
，则m+n=
13
8
13
8
．
分析：在三角形ABC中，利用向量减法的三角形法则得
BC
=
AC
-
AB
，同样在三角形ABF中有
BF
=
AB
+
2
3
AC
，在三角形AEC中有
CE
=
1
2
AB
-
AC
，再结合条件
BC
=m
CE
+n
BF
得
AC
-
AB
=（
1
2
m+n）
AB
+（
2
3
n-m）
AC
，再利用向量相等的概念，得到关于m，n的方程．即可求解．
解答：解：在三角形ABC中，
BC
=
AC
-
AB
，
在三角形ABF中，∵
AF
=2
FC
，
∴
AB
=
BF
-
AF
=
BF
-
2
3
AC
，⇒
BF
=
AB
+
2
3
AC
，
在三角形AEC中，∵
AE
=
EB
，
∴
AC
=
AE
-
CE
=
1
2
AB
-
CE
，⇒
CE
=
1
2
AB
-
AC

∵
BC
=m
CE
+n
BF
，
∴
AC
-
AB
=m（
1
2
AB
-
AC
）+n（
AB
+
2
3
AC
），
即
AC
-
AB
=（
1
2
m+n）
AB
+（
2
3
n-m）
AC
，
∵
AC
，
AB
不共线，
∴
1
2
m+n=-1
2
3
n-m=1
，解得
m=-
5
4
n=-
3
8

则m+n=-
13
8
，
故答案为：
13
8
点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，以及共线定理，同时考查了计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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精英家教网在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若
AE
AB
=m，
AF
AC
=n，则
S△AEF
S△ABC
=mn．拓展到空间：在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若
SD
DA
=m，
SE
EB
=n，
SF
FC
=p，则
VS-DEF
VS-ABC
=
 
．
在△ABC中，E，F分别为AB，AC中点，P为EF上任意一点，实数x，y满足
PA
+x
PB
+y
PC
=
0
，设△ABC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2记
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，则λ1•λ2取得最大值时，2x+3y的值为（　　）
（2012•钟祥市模拟）在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若
BE
CF
＜t恒成立，则t的最小值为（　　）
在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足
PA
+
xPB
+y
PC
=
0
，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3，则λ2•λ3取到最大值时，2x+y的值为（　　）

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