Question

如图，在半径为R、圆心角为

π

3

的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M、N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值．

Answer 1

分析：先根据已知中∠POB=a，扇形AB的，半径为R，圆心角为60°，我们易得PN=Rsinα，PQ=Rcosα-

3

3

Rsinα，代入矩形面积公式，即可得到矩形面积的表达式，结合α∈（0，

π

3

），结合三角函数的性质，我们易得，当2α+

π

6

=

π

2

时，S取最大值．

解答：解：∵扇形AB的半径为R，圆心角为60°
且∠POB=a，矩形PNMQ面积为S．
由题设可得S=Rsinα（Rcosα-

3

3

Rsinα）．
化简得：S=

3

3

R²sin（2α+

π

6

）-

3

6

R²，α∈（0，

π

3

）
当α=

π

6

，即∠AOP=

π

6

时，
S取最大值

3

6

R²．

点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，三角函数降幂公式及三角函数的最值，在本题中根据P为圆心角为60°的扇形AB弧上任一点，限制α∈（0，

π

3

）易被忽略，希望大家重视．