Question

（本题满分12分）如图， 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，点D是AB的中点
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值

Answer 1

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                       …………………2分
又 AC⊥，且
∴ AC⊥平面BCC₁，又平面BCC₁        ……………………………………4分
∴ AC⊥BC₁                            ……………………………………5分
（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接    

是中点，
∴ ，又平面
∴平面，
又平面，平面
∴
∴ 又且 
∴平面，平面    
∴  又
∴是二面角的平面角             …………………………10分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴在中，，，
∴              ……………………………………11分
∴二面角的正切值             ………………………………12分
解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系 ………6分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴， ，，，
∴，
平面的法向量              ，                      …………………7分
设平面的法向量，
则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小  ……8分
则由  令，则，
∴                                          …………10分
，则  　 ……………11分
∵二面角是锐二面角
∴二面角的正切值为             …………………… 12分

略