Question

【题目】已知双曲线的左、右顶点分别为，直线与双曲线交于，直线交直线于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若点的轨迹与矩形的四条边都相切，探究矩形对角线长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析：(1)利用交轨法，求出点的轨迹方程；(2) 设点，过点作椭圆的切线，则切线的斜率存在且不为0，设斜率为，则切线方程为，

代入到椭圆方程整理，得.由得到

，这个关于的一元二次方程的两根即为与，

由，可知，即，即点为矩形外接圆的圆心，其中为直径，大小为，故矩形对角线长为定值.

试题解析：

（1）设点， ， ，其中.

由题意，得， .

由，①

，②

两式相乘得.

∵，

∴，

代入上式得

，

由①与，得，

①÷②，得.

故点的轨迹方程为.

（2）设点，过点作椭圆的切线，

则切线的斜率存在且不为0，设斜率为，

则切线方程为，

代入到椭圆方程整理，

得.

，

即.

这个关于的一元二次方程的两根即为与，

由，

得.

设为坐标原点，故可知，

同理，得，

即点为矩形外接圆的圆心，其中为直径，大小为，

故矩形对角线长为定值.