Question

已知实数a，b是常数，f（x）=（x+a）²-7blnx+1．
（Ⅰ）若b=1时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．；
（Ⅱ）当b=

4

7

a²时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）设n是正整数，证明：ln（n+1）⁷＜（1+

1

22

+…+

1

n2

）+7（1+

1

2

+…+

1

n

）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由b=1，故f（x）=（x+a）²-7lnx+1，得f′(x)=2x+2a-

7

x

．从而a≥

7

2x

-x在x＞1时恒成立．由当x＞1时，y=

7

2x

-x是减函数，从而当x＞1时，

7

2x

-x＜

5

2

，进而求出a的范围；
（II）由b=

4

7

a2，故f（x）=（x+a）²-4a²lnx+1，x∈（0，+∞），求出f′(x)=

2x2+2ax-4a2

x

=

2(x-a)(x+2a)

x

，
当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞）当a＞0时，f（x）的减区间为（0，a）增区间为（a，+∞）当a＜0时，f（x）的减区间为（0，-2a）增区间为（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，当a=

5

2

时，f(x)=(x+

5

2

)2-7lnx+1在（1，+∞）是增函数．
x＞1时，f（x）＞f（1），从而x²+5x-6＞7lnx，得到

n+1

n

＞1，通过整理变形不等式得证．

解答： 解（Ⅰ）∵b=1，故f（x）=（x+a）²-7lnx+1，
∴f′(x)=2x+2a-

7

x

．
∵当x＞1时，f（x）是增函数，
∴f′(x)=2x+2a-

7

x

≥0在x＞1时恒成立．
即a≥

7

2x

-x在x＞1时恒成立．
∵当x＞1时，y=

7

2x

-x是减函数，
∴当x＞1时，

7

2x

-x＜

5

2

，
∴a≥

5

2

．
（II）∵b=

4

7

a2，故f（x）=（x+a）²-4a²lnx+1，x∈（0，+∞），
∴f′(x)=

2x2+2ax-4a2

x

=

2(x-a)(x+2a)

x

，
∴当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞）
当a＞0时，∴f'（x）＞0⇒x＞a或x＜-2a，
∴f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）
当a＜0时，∴f'（x）＞0⇒x＞-2a或x＜a，
∴f（x）的减区间为（0，-2a），增区间为（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，
当a=

5

2

时，
f(x)=(x+

5

2

)2-7lnx+1在（1，+∞）是增函数．
∴当x＞1时，f（x）＞f（1），
即(x+

5

2

)2-7lnx+1＞

53

4

，
∴x²+5x-6＞7lnx
∵n∈N*，∴

n+1

n

＞1，
∴(1+

1

n

)2+5(1+

1

n

)-6＞7ln

n+1

n

，
即

1

n2

+7

1

n

＞7[ln(n+1)-lnn]，
∴(

1

12

+

7

1

)+(

1

22

+

7

2

)…(

1

n2

+

7

n

)＞
7[ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn]
=7ln（n+1），
∴ln(n+1)7＜(1+

1

22

+…+

1

n2

)+7(1+

1

2

+…+

1

n

)．

点评：本题考察了利用导数求函数的单调性，求参数的取值范围，不等式的证明，是一道综合题．