Question

7．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＜0．求证：f（x）是奇函数．

Answer 1

分析 采用赋值法，令x=y=0，得f（0）=0，再令x=-y，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，从而f（-x）=-f（x）；

解答 证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=-y，得f（0）=f（x）+f（-x）；
令x=y=0，得f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0（a∈R）．
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．

点评 本题考查抽象函数及其用，着重考查函数的奇偶性的定义及其应用，属于中档题．