Question

在如图所示的空间几何体中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上。

   （1）求证：DE//平面ABC； （2）求二面角E—BC—A的余弦；

 （3）求多面体ABCDE的体积。

Answer 1

 解：方法一：（1）由题意知， 都是边长为2的等边三角形，

       取AC中点O，连接BO，DO，

       则

       平面ACD平面ABC

       平面ABC，作EF平面ABC，

       那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，

       ，易求得

       所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF；

       平面ABC，平面ABC，

       平面ABC

   （2）作FGBC，垂足为G，连接EG；

       平面ABC，根据三垂线定理可知，EGBC

       就是二面角E—BC—A的平面角

      

      

      

       即二面角E—BC—A的余弦值为

   （3）平面ACD平面ABC，OBAC

       平面ACD；又

       平面DAC，三棱锥E—DAC的体积

      

       又三棱锥E—ABC的体积[来源:Zxxk.Com]

       多面体DE—ABC的体积为V=V₁-V₂=…………13分

       方法二：（1）同方法一

   （2）建立如图所示的空间直角坐标系，

可求得平面ABC的一个法向量为，

平面BCE的一个法向量为

       所以

       又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E—BC—A的余弦值为