Question

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（1）取AC中点O，连接BO、DO，等边三角形△ACD中，DO⊥AC，结合面面垂直的性质，得D0⊥平面ABC．再过E作EF⊥平面ABC，可以证出四边形DEFO是平行四边形，得DE∥OF，结合线面平行的判定定理，证出DE∥平面ABC；
（2）三棱锥E-DAC中，可得DE是平面DAC上的高，三棱锥E-ABC中，EF是平面ABC上的高．最后用锥体体积公式，将三棱锥E-DAC的体积加上三棱锥E-ABC的体积，即可得到多面体ABCDE的体积．

解答：解：（1）取AC中点O，连接BO、DO，
∵△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
∴BO⊥AC，DO⊥AC；
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC
∴DO⊥平面ABC，
过E作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，
根据题意，点F落在BO上，易求得EF=DO=

3

，
所以四边形DEFO是平行四边形，得DE∥OF，
∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC…（6分）
（2）∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，OB⊥AC，
∴OB⊥平面ACD；
又∵DE∥OB，∴DE⊥平面DAC，
∴三棱锥E-DAC的体积：V1=

1

3

S△BAC•DE=

1

3

•

3

•(

3

-1)=

3- 3

3

又∵三棱锥E-ABC的体积V2=

1

3

S△ABC•EF=

1

3

•

3

•

3

=1
∴多面体DE-ABC的体积为V=V₁+V₂=

6- 3

3

…（12分）

点评：本题给出两个三棱锥拼接成多面体，求证线面平行并且求它的体积，着重考查了面面垂直的性质、线面平行的判定和锥体体积公式等知识，属于中档题．