Question

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC．BE和平面ABC所成的角为

π

3

，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，DE=

3

-1．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AC中点O，连接BO、DO，等边三角形△ACD中，DO⊥AC，结合面面垂直的性质，得D0⊥平面ABC．再过E作EF⊥平面ABC，可以证出四边形DEFO是平行四边形，得DE∥OF，结合线面平行的判定定理，证出DE∥平面ABC；
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OD分别为x，y，z轴方向建立空间坐标系，分别求出平面ABE和CBE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：证明：（1）取AC中点O，连接BO、DO，
∵△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
∴BO⊥AC，DO⊥AC；
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC
∴DO⊥平面ABC，
过E作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，
根据题意，点F落在BO上，易求得EF=DO=

3

，
所以四边形DEFO是平行四边形，得DE∥OF，
∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OD分别为x，y，z轴方向建立空间坐标系，
则A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，0，0），D（0，0，

3

），E（0，

3

-1，

3

）
则

BE

=（0，-1，

3

），

AB

=（-1，

3

，0），

CB

=（1，

3

，0），
设平面ABE的法向量为

m

=（x，y，z）
则

m • BE =0 m • AB =0

，即

-y+ 3 z=0 -x+ 3 y=0

令y=

3

，可得

m

=（3，

3

，1）
设平面ACE的法向量为

n

=（x，y，z）
则

n • BE =0 n • CB =0

，即

-y+ 3 z=0 x+ 3 y=0

令y=

3

，可得

n

=（-3，

3

，1）
设锐二面角A-BE-C的平面角为θ
则cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

| m • n |

| m |•| n |

=

5

13

，即二面角A-BE-C的余弦值为

5

13

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的平面角的求法，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．