Question

5．已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且满足f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，则f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 把已知式子中的x换成-x列出方程，根据函数奇偶性的性质：f（-x）=f（x）、g（-x）=-g（x）化简，通过解方程组即可解得f（x）．

解答 解：由题意知，f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，①
把x换成-x得，f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$，
∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
代入上式得，f（x）-g（x）=-$\frac{1}{x+1}$，②
由①②得，f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$，
故答案为：$\frac{1}{{x}^{2}-1}$．

点评 本题考查了利用函数奇偶性的性质、方程组法求函数解析式，考查了方程思想，化简、计算能力．