Question

F₁、F₂是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2=

2π

3

，则它的离心率的取值范围是（　　）

• A．(0，

  1

  2

  )
• B．[

  1

  2

  ，1)
• C．(0，

  3

  2

  ]
• D．[

  3

  2

  ，1)

Answer 1

分析：依题意，不妨设椭圆的焦点在x轴，设椭圆的上顶点为A，由∠F₁AO≥

π

3

即可求得它的离心率的取值范围．

解答：解：不妨设椭圆的焦点在x轴，设椭圆的上顶点为A，
∵椭圆上存在一点P，∠F₁PF₂=

2π

3

，
∴∠F₁AO≥

π

3

，
∴tan∠F₁AO=

c

b

≥

3

，
∴

b

c

≤

1

3

?

b2

c2

=

a2-c2

c2

≤

1

3

，
∴

c2

a2

≥

3

4

，
∴e=

c

a

≥

3

2

，又e＜1．
∴

3

2

≤e＜1．
故选D．

点评：本题考查椭圆的简单性质，求得∠F₁AO≥

π

3

是关键，也是难点，考查分析与逻辑思维能力，属于难题．