Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）（ⅰ）求证：；

（ⅱ）设，当时，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，过原点分别作曲线与的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）（ⅰ）构造函数，通过求导分析单调性，利用最值即可证明；

（ⅱ）由，当时，利用可得函数单调性从而知成立，当时求导分析单调性找到反例知不成立，从而得解；

（Ⅱ）设切线的方程为，切点为，则，，可得的的方程为，设与曲线的切点为，通过求导列方程可得，令，求导利用单调性即可证得.

（Ⅰ）（ⅰ）证明：令，

则，

所以时，，时，

所以，即.

（ⅱ），

.

a.当时，由（Ⅰ）知，

所以，

所以在［上递增，

则恒成立，符合题意．

b．当时，令，则

，所以在上递增，且，则存在，使得.

所以在上递减，在上递增；

又，所以不恒成立，不合题意．

综合a，b可知，所求实数a的取值范围是．

（Ⅱ）证明：设切线的方程为，切点为，则，，

所以，， 则.

由题意知，切线的斜率为，的的方程为.

设与曲线的切点为，

则，

所以，.

又因为，

消去和a后 ，整理得.

令，

则，

易知在上单调递减， 在上单调递增 ．

若，因为

，，所以 ，

而，在上单调递减，

所以.

若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）.

综上所述：.