Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．是曲线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（I）求曲线，的极坐标方程；

（II）在（I）的条件下，若射线与曲线，分别交于两点（除极点外），且有定点，求面积．

Answer 1

【答案】（I）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由曲线的参数方程先化为普通方程，进而可化为极坐标方程；根据曲线的极坐标方程，求出的极坐标方程即可；

（II）先求出两点的极坐标，进而可求出和，再由即可求出结果.

（Ⅰ）由题设，得的直角坐标方程为，

即，

故的极坐标方程为，即．

设点，则由已知得，

代入的极坐标方程得，

即的极坐标方程为．

（Ⅱ）将代入的极坐标方程得，

又因为，所以，

，

所以．