Question

【题目】如图，已知多面体，，，均垂直于平面ABC，,.

（Ⅰ）证明：平面;

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的余弦值；

（Ⅲ）求平面与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）以AC为中点O为原点，分别以射线OB，OC为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，由得，由得，进而得证；

（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，求解平面的法向量，利用求解即可；

（Ⅲ）由平面和平面ABC的法向量求解即可.

（Ⅰ）如图，以AC为中点O为原点，分别以射线OB，OC为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

由题意知各点坐标如下：

因此

由得，

由得，

所以⊥平面.

（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，由（Ⅰ）可知，，，

设平面的法向量.

由即可得

所以.

则余弦值为.

（Ⅲ）由上述条件可知，

设平面的法向量为.

由即，可得

平面ABC的法向可取

设平面与平面ABC的夹角为 β， 则，所以正弦值为.