Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F₁作倾斜角为

π

4

的直线l交椭圆于A，B两点，

AF1

=(2-

3

)

F1B

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若|AB|=3，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（1）直线l的方程为x=y-c，由

x=y-c x2 a2 + y2 b2 =1

，得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

2b2c

a2+b2

，y1y2=

-b4

a2+b2

，由

AF1

=(2-

3

)

F1B

得

y1

y2

=-(2-

3

)，由此能求出椭圆的离心率．
（2）由|AB|=

2

|y1-y2|=a=3，知b²=3，由此能求出椭圆标准方程．

解答：解：（1）直线l的方程为x=y-c，
由

x=y-c x2 a2 + y2 b2 =1

，
消去x得，（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

2b2c

a2+b2

①，
y1y2=

-b4

a2+b2

②，
又由

AF1

=(2-

3

)

F1B

，
得

y1

y2

=-(2-

3

)③，
由①②得

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4c2

a2+b2

=-2，
∴a²+b²=2c²，a²=3b²，
∴2a²=3c²，
∴e=

6

3

．
（2）|AB|=

2

|y1-y2|
=

2

×

4b4c2+4b4(a2+b2)

a2+b2

=

4ab2

a2+b2

=a=3，
∴b²=3
∴椭圆标准方程为

x2

9

+

y2

3

=1．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．