Question

在港口A处，发现北偏东45°方向，距离A处（

3

-1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处 2 海里的C处的缉私船奉命以10

3

海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10 海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿多少度的方位角行驶能够最快截获走私船？

Answer 1

分析：由题意可得CD=10

3

t，BD=10t，AB=

3

-1，AC=2，∠BAC=120°，由余弦定理求得BC的值，再由正弦定理求得sin∠ABC的值，即可求得∠ABC的值，从而得到∠BCD的值，从而得出
结论．

解答：解：如图所示：设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=10

3

t，BD=10t．
在△ABC中，∵AB=

3

-1，AC=2，∠BAC=120°，…（2分）
∴由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC
=（

3

-1）²+2²-2×（

3

-1）×2×cos120°=6，∴BC=

6

．…（5分）
由正弦定理得sin∠ABC=

AC

BC

sin∠BAC=

2

6

×

3

2

=

2

2

，解得∠ABC=45°，即BC与正北方向垂直．
于是∠CBD=120°．…（8分）
在△BCD中，由正弦定理可得sin∠BCD=

BD•sin∠CBD

CD

=

10t•sin120°

10 3 t

=

1

2

，∴∠BCD=30°…（11分）
故缉私船能够最快追上走私船的方位角是60°．…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．