题目内容

在港口A处，发现北偏东45°方向，距离A处（ $数学公式$ -1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处 2 海里的C处的缉私船奉命以10 $数学公式$ 海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10 海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿多少度的方位角行驶能够最快截获走私船？

解：如图所示：设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=10 $\text{[math]}$ t，BD=10t．
在△ABC中，∵AB= $\text{[math]}$ -1，AC=2，∠BAC=120°，…（2分）
∴由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC
=（ $\text{[math]}$ -1）²+2²-2×（ $\text{[math]}$ -1）×2×cos120°=6，∴BC= $\text{[math]}$ ．…（5分）
由正弦定理得 $\text{[math]}$ ，解得∠ABC=45°，即BC与正北方向垂直．
于是∠CBD=120°．…（8分）
在△BCD中，由正弦定理可得sin∠BCD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴∠BCD=30°…（11分）
故缉私船能够最快追上走私船的方位角是60°．…（12分）
分析：由题意可得CD=10 $\text{[math]}$ t，BD=10t，AB= $\text{[math]}$ -1，AC=2，∠BAC=120°，由余弦定理求得BC的值，再由正弦定理求得sin∠ABC的值，即可求得∠ABC的值，从而得到∠BCD的值，从而得出
结论．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．