题目内容
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有
=
．
（1）求cosA的值；
（2）若b=2，c=3，D为BC上一点．且
=2
，求AD的长．
| tanA+tanC |
| 3 |
| sinB |
| cosC |
（1）求cosA的值；
（2）若b=2，c=3，D为BC上一点．且
| CD |
| DB |
考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值
分析：（1）已知等式左边利用同角三角函数间基本关系切化弦后，去分母整理，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，求出cosA的值即可；
（2）由b，c，cosA的值，利用余弦定理求出a的值，进而确定出|BC|的长，根据
=2
，求出|CD|的长，且利用余弦定理求出cosC的值，在三角形ACD中，利用余弦定理求出|AD|的长即可．
（2）由b，c，cosA的值，利用余弦定理求出a的值，进而确定出|BC|的长，根据
| CD |
| DB |
解答：
解：（1）∵
=
，
∴
+
=
，
去分母得：3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴3cosA=1，
∴cosA=
；
（2）∵b=2，c=3，
∴a2=b2+c2-2bccosA=9，
∴|BC|=a=3，
∵
=2
，
∴|DC|=2，cosC=
=
=
，
∴|AD|2=22+22-2×2×2cosC=
，
∴|AD|=
．
解：（1）∵| tanA+tanC |
| 3 |
| sinB |
| cosC |
∴
| sinA |
| cosA |
| sinC |
| cosC |
| 3sinB |
| cosC |
去分母得：3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴3cosA=1，
∴cosA=
| 1 |
| 3 |
（2）∵b=2，c=3，
∴a2=b2+c2-2bccosA=9，
∴|BC|=a=3，
∵
| CD |
| DB |
∴|DC|=2，cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 9+4-9 |
| 12 |
| 1 |
| 3 |
∴|AD|2=22+22-2×2×2cosC=
| 16 |
| 3 |
∴|AD|=
4
| ||
| 3 |
点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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