Question

【题目】已知抛物线 的焦点为 ,其准线与 轴交于点 ,过 作斜率为 的直线 与抛物线交于 两点,弦 的中点为 的垂直平分线与 轴交于 ．
（1）求 的取值范围;
（2）求证: .

Answer 1

【答案】
（1）由y2＝-4x,可得准线x＝1,
从而M(1,0)．
设l的方程为y＝k(x-1),联立
得k2x2-2(k2-2)x＋k2＝0.
∵A,B存在,∴Δ＝4(k2-2)2-4k2>0,
∴-1<k<1.又k≠0,
∴k∈(-1,0)∪(0,1)．
（2）设P(x3,y3),A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x3＝ ,y3＝k( -1)＝- ＝- .
即直线PE的方程为y＋ ＝- (x- )．
令y＝0,x0＝- -1.
∵k2∈(0,1),∴x0<-3.
【解析】（1）根据抛物线方程求出其准线方程，再联立抛物线方程和直线方程得出关于x的方程式，最终确定k的取值范围。
（2）根据已知条件求出k与x0的关系，再由k的范围确定x0的范围即可。