Question

已知tana，

1

tana

是关于x的方程x²-kx+k²-8=0的两个实根，且3π＜a＜

7π

2

，求cosa+sina的值．

Answer 1

分析：先由韦达定理，三角函数值在各象限的符号确定出k=3，从而tanα+

1

tanα

=3，再由同角三角函数基本关系式化简整理得出sinα•cosα=

1

3

．将cosa+sina 看作整体，进行求解计算．

解答：解：根据韦达定理得，tanα•

1

tanα

=k²-8=1，∴k=±3．
而3π＜a＜

7π

2

，∴tanα＞0，

1

tanα

＞0，sinα＜0，cosα＜0．
则tanα+

1

tanα

=k＞0，∴k=3，
根据同角三角函数基本关系式，又得

sinα

cosα

+

cosα

sinα

=3，

1

sinα  cosα

=3，
∴sinα•cosα=

1

3

．
（sinα+cosα ）²=1+2sinα•cosα=

5

3

．
sinα+cosα=-

5 3

=-

15

3

．

点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系应用，同角三角函数基本关系式，三角函数值在各象限的符号．考查了变形、转化、整体计算等能力．要掌握sinα+cosα，sinα-cosα，sinα•cosα 三者之间的相互转化代换．