题目内容

4．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosa\\ y=\sqrt{3}sina\end{array}$（a为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．
（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．

分析 （1）由cos2α+sin2α=1，能求出曲线C1的普通方程，由正弦加法定理和ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C2的直角坐标方程．
（2）由点P到直线距离公式和三角函数性质，能求出点P到C2上点的距离的最小值．

解答 解：（1）∵在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosa\\ y=\sqrt{3}sina\end{array}$（a为参数），
∴曲线C1的普通方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵曲线C2的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=4，
∴曲线C2的直角坐标方程为x+y-4=0．
（2）∵P为曲线C1上的动点，∴P（cosα，$\sqrt{3}sinα$），
∴点P到C2上点的距离d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|2sin（θ+\frac{π}{6}）-4|$≥$\sqrt{2}$．
∴点P到C2上点的距离的最小值是$\sqrt{2}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要注意点到直线距离公式的合理运用．

练习册系列答案
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