题目内容
（2013•兰州一模）已知动点P到两定点A、B的距离和为8，且|AB|=4
，线段AB的中点为O，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（ ）
| 3 |
分析：根据题意，P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，得到它的方程为
+
=1．根据椭圆的几何性质，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段，其长度介于2b与2a之间，由此即可算出长度为整数的条数．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
解答：
解：∵|AB|=4
＜8，动点P到两定点A、B的距离和为8，
∴P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，得
2a=8，2c=4
，可得b=
=2
∴椭圆的方程为
+
=1
因此，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段，
其长度l∈[2b，2a]，即l∈[4，8]，
长度为整数的有4、5、6、7、8，由椭圆的对称性，可得长度为5、6、7的各有两条，
他要4、8的各一条，总共有8条
故选：D
解：∵|AB|=4| 3 |
∴P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，得
2a=8，2c=4
| 3 |
| a2-c2 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
因此，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段，
其长度l∈[2b，2a]，即l∈[4，8]，
长度为整数的有4、5、6、7、8，由椭圆的对称性，可得长度为5、6、7的各有两条，
他要4、8的各一条，总共有8条
故选：D
点评：本题给出动点的轨迹．求满足条件的线段条数．着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
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