Question

（2013•兰州一模）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）证明：-3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．

Answer 1

分析：（1）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；
（2）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．

解答：解：（1）f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x≤2 2x-7，2＜x＜5 3，x≥5

．
当2＜x＜5时，-3＜2x-7＜3．
所以-3≤f（x）≤3．
（2）由（1）可知，
当x≤2时，f（x）≥x²-8x+15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f（x）≥x²-8x+15的解集为{x|5-

3

≤x＜5}；
当x≥5时，f（x）≥x²-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f（x）≥x²-8x+15的解集为{x|5-

3

≤x≤6}．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围分类讨论去掉函数式中的绝对值符号是关键，考查转化与分类讨论思想，属于中档题．