Question

   已知抛物线C：()的焦点为F（1,0），点O为坐标原点，A，B是曲线C上异于O的两点.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为,求证：直线AB过定点．

Answer 1

 解：（Ⅰ）∵焦点为F（1,0），∴,∴抛物线方程为.

（Ⅱ）方法一：∵直线OA、OB的斜率之积为

∴设直线OA的方程为；直线OB的方程为.

联立得，同理

由抛物线关于x轴对称可知定点在x轴上，那么当A，B横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标.

令，解得，则=8，点M（8,0）为直线AB过的定点.

下面证明直线AB过M点

∵  _，

由可知向量与共线.

∴直线AB过定点M．

方法二：设.

（1）若直线AB斜率存在，设其方程为

即.

∴，.

∵直线OA、OB的斜率之积为，即,

∴，即,带入直线方程，得直线AB方程为.

∴即直线AB过定点（8,0）.

（2）若直线AB斜率不存在，则，

由可得，

∴直线AB方程为，过定点（8,0）.

综上，直线AB过定点．