Question

已知f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ（m，n∈N^*）的展开式中x的系数为11．
（1）求x²的系数取最小值时n的值．
（2）当x²的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x²的系数，
将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
（2）通过对x分别赋值1，-1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．

解答：解：（1）由已知C_m¹+2C_n¹=11，∴m+2n=11，
x²的系数为C_m²+2²C_n²=

m(m-1)

2

+2n（n-1）=

m2-m

2

+（11-m）（

11-m

2

-1）=（m-

21

4

）²+

351

16

．
∵m∈N^*，∴m=5时，x²的系数取得最小值22，
此时n=3．
（2）由（1）知，当x²的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）⁵+（1+2x）³．
设这时f（x）的展开式为
f（x）=a₀+a₁x+a₂x²++a₅x⁵，
令x=1，a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=2⁵+3³，
令x=-1，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=-1，
两式相减得2（a₁+a₃+a₅）=60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．