题目内容
已知f(x)=(x2+1)(x+a)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于1,求a的取值范围.
(2)若y=f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,求a的取值范围.
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于1,求a的取值范围.
(2)若y=f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,求a的取值范围.
分析:(1)问题等价于f′(x)>1在x∈(0,+∞)上恒成立,进而转化为函数的最值问题解决;
(2)函数f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,即y=f′(x)在(0,+∞)上有零点,且零点两侧异号,由f′(0)=1>0知:f′(x)在(0,+∞)上必有两个零点,由此得一不等式组,解出即可.
(2)函数f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,即y=f′(x)在(0,+∞)上有零点,且零点两侧异号,由f′(0)=1>0知:f′(x)在(0,+∞)上必有两个零点,由此得一不等式组,解出即可.
解答:解:(1)x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于1,
等价于f′(x)>1在x∈(0,+∞)上恒成立,即3x2+2ax+1>1,也即3x+2a>0在x∈(0,+∞)上恒成立,
所以3×0+2a≥0,解得a≥0,
故实数a 的取值范围为[0,+∞).
(2)f′(x)=3x2+2ax+1,易知f′(0)=1>0,
要使f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,只需y=f′(x)在(0,+∞)上有两个零点即可,
所以有
,解得a<-
.
故a的取值范围为:(-∞,-
).
等价于f′(x)>1在x∈(0,+∞)上恒成立,即3x2+2ax+1>1,也即3x+2a>0在x∈(0,+∞)上恒成立,
所以3×0+2a≥0,解得a≥0,
故实数a 的取值范围为[0,+∞).
(2)f′(x)=3x2+2ax+1,易知f′(0)=1>0,
要使f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,只需y=f′(x)在(0,+∞)上有两个零点即可,
所以有
|
3 |
故a的取值范围为:(-∞,-
3 |
点评:本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的极值,考查学生运用所学知识分析问题解决问题的转化能力,属中档题

练习册系列答案
相关题目