Question

已知f（x）=xlnx
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的定义域，求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即得单调区间；
（2）由（1）可知x=

1

e

为f（x）的极值点，按照极值点在区间[t，t+2]的右侧、内部、左侧三种情况进行讨论，由函数的单调性即可求得其最小值；

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

，令f′（x）＞0，解得x＞

1

e

，
所以f（x）的单调减区间为（0，

1

e

），单调增区间为（

1

e

，+∞）；
（2）由（1）知f（x）的单调减区间为（0，

1

e

），单调增区间为（

1

e

，+∞），
则（ⅰ）当0＜t＜t+2＜

1

e

时，t无解；
（ⅱ）当0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，
f（x）在[t，

1

e

]上递减，在[

1

e

，t+2]上递增，
所以f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

；
（ⅲ）当

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
所以f（x）_min=f（t）=tlnt，
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．