题目内容
已知f(x)=ln(1+x)-x | 1+ax |
(I) 若f(x)在(0,+∞)内为单调增函数,求a的取值范围;
(II) 若函数f(x)在x=O处取得极小值,求a的取值范围.
分析:先根据导数法则与公式求出f(x)的导数f′(x).
(I)由函数的单调性与导数的关系易得f′(x)≥0,再结合二次函数的性质可得
≤0,即可求出a的取值范围;
(II)由f(x)在x=O处取得极小值,可知在x=O左侧有f′(x)<0,在x=O右侧有f′(x)>0,则
<0,即可求出a的取值范围.
(I)由函数的单调性与导数的关系易得f′(x)≥0,再结合二次函数的性质可得
1-2a |
a2 |
(II)由f(x)在x=O处取得极小值,可知在x=O左侧有f′(x)<0,在x=O右侧有f′(x)>0,则
1-2a |
a2 |
解答:解:由f(x)=ln(1+x)-
(a>0)
得f′(x)=
-
=
(Ⅰ)∵f(x)在(0,+∞)内为单调增函数∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.
又a>0∴x(x-
)≥0在(0,+∞)上恒成立
∴
≤0,解得a≥
.
(Ⅱ)由f′(x)=
=0 得x1=0,x2=
(a>0)
其中a2、(1+x)、(1+ax)2均大于0
∵f(x)在x=O处取得极小值
∴在x=O左侧有f′(x)<0,在x=O右侧有f′(x)>0.
∴
<0,解得a>
.
x |
1+ax |
得f′(x)=
1 |
1+x |
(1+ax)-ax |
(1+ax)2 |
a2x(x-
| ||
(1+x)(1+ax)2 |
(Ⅰ)∵f(x)在(0,+∞)内为单调增函数∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.
又a>0∴x(x-
1-2a |
a2 |
∴
1-2a |
a2 |
1 |
2 |
(Ⅱ)由f′(x)=
a2x(x-
| ||
(1+x)(1+ax)2 |
1-2a |
a2 |
其中a2、(1+x)、(1+ax)2均大于0
∵f(x)在x=O处取得极小值
∴在x=O左侧有f′(x)<0,在x=O右侧有f′(x)>0.
∴
1-2a |
a2 |
1 |
2 |
点评:本题主要考查函数的单调性、极值与导数的关系,同时考查求导的公式与法则.

练习册系列答案
相关题目