题目内容

已知f(x)=ln(1+x)-
x1+ax
(a>0).
(I) 若f(x)在(0,+∞)内为单调增函数,求a的取值范围;
(II) 若函数f(x)在x=O处取得极小值,求a的取值范围.
分析:先根据导数法则与公式求出f(x)的导数f′(x).
(I)由函数的单调性与导数的关系易得f′(x)≥0,再结合二次函数的性质可得
1-2a
a2
≤0,即可求出a的取值范围;
(II)由f(x)在x=O处取得极小值,可知在x=O左侧有f′(x)<0,在x=O右侧有f′(x)>0,则
1-2a
a2
<0,即可求出a的取值范围.
解答:解:由f(x)=ln(1+x)-
x
1+ax
(a>0)
得f′(x)=
1
1+x
-
(1+ax)-ax
(1+ax)2
=
a2x(x-
1-2a
a2
)
(1+x)(1+ax)2

(Ⅰ)∵f(x)在(0,+∞)内为单调增函数∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.
又a>0∴x(x-
1-2a
a2
)
≥0在(0,+∞)上恒成立
1-2a
a2
≤0,解得a≥
1
2

(Ⅱ)由f′(x)=
a2x(x-
1-2a
a2
)
(1+x)(1+ax)2
=0 得x1=0,x2=
1-2a
a2
(a>0)
其中a2、(1+x)、(1+ax)2均大于0
∵f(x)在x=O处取得极小值
∴在x=O左侧有f′(x)<0,在x=O右侧有f′(x)>0.
1-2a
a2
<0,解得a>
1
2
点评:本题主要考查函数的单调性、极值与导数的关系,同时考查求导的公式与法则.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网