Question

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设α∈[0，

π

2

]，f（

α

2

+

π

8

）=

5

2

，求sin（α+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域确定出最大值；找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）根据（1）确定的解析式，由f（

α

2

+

π

8

）=

5

2

，求出cosα的值，再利用同角三角函数间基本关系求出sinα的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+sin2x=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，即-

2

≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，
∴f（x）的最大值为

2

，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）∵f（

α

2

+

π

8

）=

2

sin（α+

π

2

）=

2

cosα=

5

2

，
∴cosα=

10

4

，
∵α∈[0，

π

2

]，
∴sinα=

1-cos2α

=

1-( 10 4 )2

=

6

4

，
则sin（α+

π

4

）=

2

2

sinα+

2

2

cosα=

2

2

×（

6

4

+

10

4

）=

3 + 5

4

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．