Question

6．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=$\frac{π}{3}$，面积S=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinx-cosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用三角形的面积公式求出c边的长，进一步利用余弦定理求出a的长．
（Ⅱ）利用上步的结论，进一步求出B的大小和C的大小，进一步把函数关系式变性成正弦型函数，再利用函数图象的变换求出g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），最后利用整体思想求出函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=$\frac{π}{3}$，面积S=2$\sqrt{3}$．
则：S=$\frac{1}{2}bcsinA$．
$2\sqrt{3}=\frac{1}{2}×4×csin\frac{π}{3}$
解得：c=2．
a²=b²+c²-2bccosA
则：a=$2\sqrt{3}$．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
所以：$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{sinB}$，
解得：sinB=1，
由于0＜B＜π
则：$B=\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$．
f（x）=2（cosCsinx-cosAcosx）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变）得到g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤$$\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）
解得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$
则函数g（x）的单调递增区间为：[$kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}$]（k∈Z）

点评 本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数图象的伸缩变换，正弦型函数的单调区间的确定．