Question

已知数列{a_n}满足：，且b_n=a_2n-2，n∈N^*
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，设，设S_n=C₁+C₂+…+C_n，求证：S_n＜6．

Answer 1

【答案】分析：（I）分别将n=2，3，4代入到a_n+1=中即可得到a₂，a₃，a₄的值．
（II）根据b_n=a_2n-2，然后进行整理即可得到b_n+1=b_n，从而证明数列{b_n}是等比数列，进而可求出数列{b_n}的通项公式．
（III）先根据（2）中{b_n}的通项公式求出C_n，然后利用错位相减法求得数列{C_n}的前n项和，进而求得S_n与6的大小．
解答：解：（Ⅰ），，（12分）
（Ⅱ）（5分）
=，又
∴数列{b_n}是公比为的等比数列，且．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，∴．
令．①
∴②
①-②得=∴．（13分）
点评：本题主要考查了利用递推关系求数列前几项，以及等比数列的定义及通项公式，错位相减法求数列的前n项和，考查运算能力，属中档题．