Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别是， ，且点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于异于的不同两点， ，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由焦距得，又椭圆经过点，代入求解即可；

（2）由题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为， ， ，直线与椭圆联立得， ，点到直线的距离为， 的面积 ，利用韦达定理带入得，令，则即可的最值.

试题解析：

(1)由题意，焦距，∴，

∴椭圆.

又椭圆经过点，∴，

解得或 (舍)，∴.

∴椭圆的标准方程为.

(2)由(1)，得点，

由题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为， ， ，

联立，消去，得，

∴，

， ，

∵，

化简，得，

又点到直线的距离为，

∴的面积 ，

令，则，

而函数在时单调递增，

∴在时单调递减，

∴当时即时， 的面积有最大值.