题目内容
在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x-2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条．
其中所有真命题的序号是
- A.①②③
- B.③④
- C.②④
- D.②③④
D
分析：根据直线方程求出直线在两坐标轴上的截距，再构造以斜率k为自变量，S△是变量k的函数，利用均值不等式求函数最小值方法，分k＞0和k＜0两种情况讨论存在直线的条件，再分析求解．
解答：∵直线y=k（x-2）+3与x轴，y轴交点的坐标分别是，A（2-
，0），B（0，3-2k）．
S△=
×|2-|×|3-2k|=×
．
当k＞0时，S△=×
=×（4k+
-12），
∵4k+≥2
=12，当且仅当k=
时取等号．
∴当S△=m＞0时，在k＞0时，k有两值；
当k＜0时，S△=×=×
=×[（-4k+
）+12]，
∵-4k+≥2=12．当且仅当k=-时取等号．
当m＞12时，在k＜0时，k有两值．；
∴当 m=0时，仅有一条直线使△AOB的面积为m，∴①不正确；
当0＜m＜12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，∴②正确；
当m=12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，∴③正确；
当m＞12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，∴④正确．
故选D
点评：本题借助考查命题的真假判定，考查直线与坐标轴围成的△的面积问题．S△的面积可根据直线在坐标轴上的截距求得．在本题中根据斜率k取值的个数来确定直线存在的条数，这是解决此类题的常用方法．
分析：根据直线方程求出直线在两坐标轴上的截距，再构造以斜率k为自变量，S△是变量k的函数，利用均值不等式求函数最小值方法，分k＞0和k＜0两种情况讨论存在直线的条件，再分析求解．
解答：∵直线y=k（x-2）+3与x轴，y轴交点的坐标分别是，A（2-
，0），B（0，3-2k）．S△=
×|2-|×|3-2k|=×．当k＞0时，S△=
×=×（4k+-12），∵4k+
≥2=12，当且仅当k=时取等号．∴当S△=m＞0时，在k＞0时，k有两值；
当k＜0时，S△=
×=×=×[（-4k+）+12]，∵-4k+
≥2=12．当且仅当k=-时取等号．当m＞12时，在k＜0时，k有两值．；
∴当 m=0时，仅有一条直线使△AOB的面积为m，∴①不正确；
当0＜m＜12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，∴②正确；
当m=12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，∴③正确；
当m＞12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，∴④正确．
故选D
点评：本题借助考查命题的真假判定，考查直线与坐标轴围成的△的面积问题．S△的面积可根据直线在坐标轴上的截距求得．在本题中根据斜率k取值的个数来确定直线存在的条数，这是解决此类题的常用方法．
练习册系列答案
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在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，则它的离心率为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、2 |
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．