Question

17.如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长为3，侧棱AA₁＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC.

（Ⅰ）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；

（Ⅱ）求二面角B₁－AD－B的大小；

（Ⅲ）求三棱锥C₁－ABB₁的体积.

Answer 1

17.（Ⅰ）证明：∵CD∥C₁B₁，又BD=BC=B₁C₁，

∴四边形BDB₁C₁是平行四边形，

∴BC₁∥DB₁.

又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D，

∴直线BC₁∥平面AB₁D.

 

（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB₁.

∵B₁B⊥平面ABD，

∴B₁E⊥AD.

∴∠B₁EB是二面角B₁—AD—B的平面角.

∵BD=BC=AB，

∴E是AD的中点，

∴BE=AC=.

 

在Rt△B₁BE中,tanB₁EB===,

 

∴∠B₁EB=60°

即二面角B₁—AD—B的大小为60°.

 

（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F.

∵B₁B⊥平面ABC，

∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AF⊥平面BB₁C₁C,

且AF=×3=.

∴==·AF

=（××3）×

=.

即三棱锥C₁—ABB₁的体积为.

解法二：在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

∵=，

 

∴==

 

=·AA₁

 

=×（×3²）×

 

=,

 

即三棱锥C₁—ABB₁的体积为.