如图.已知椭圆x2a2+y2b2=1.左.右焦点分别为F1.F2.右顶点为A.上顶点为B.P为椭圆上在第一象限内一点．(1)若S△PF1F2=S△PAF2.求椭圆的离心率,(2)若S△PF1F2=S△PAF2=S△PBF1.求直线PF1的斜率k,(3)若S△PAF2.S△PF1F2.S△PBF1成等差数列.椭圆的离心率e∈[14.1).求直线PF1的斜率k的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞))，左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若S△PF1F2=S△PAF2，求椭圆的离心率；
（2）若S△PF1F2=S△PAF2=S△PBF1，求直线PF₁的斜率k；
（3）若S△PAF2，S△PF1F2，S△PBF1成等差数列，椭圆的离心率e∈[

1

4

，1)，求直线PF₁的斜率k的取值范围．

分析：（1）若S△PF1F2=S△PAF2，则F₂为F₁A的中点，从而得a、c间的等式，求得离心率；
（2）设直线PF₁的方程为y=k（x+c），若S△PF1F2=S△PAF2=S△PBF1，则点B、F₂到直线PF₁的距离相等，利用点到直线的距离公式即可得k、b、c间的关系，再由（1）即可求得斜率k的值
（3）利用点到直线的距离公式，若S△PAF2，S△PF1F2，S△PBF1成等差数列，则k=

b

6c-a

，两边平方后，利用已知离心率范围，即可求得k的范围

解答：解：（1）∵S△PF1F2=S△PAF2∴F₁F₂=F₂A
∴a-c=2c
∴e=

1

3

（2）设直线PF₁的方程为y=k（x+c），
∵S△PF1F2=S△PBF1
∴

1

2

PF₁•

b-kc

k2+ 1

=

1

2

PF₁•

2kc

k2+ 1

∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c，a²-b²=c²
∴b=2

2

c
∴k=

2

2

3

（3）设S△PF1F2=t，则S△PAF2=

a-c

2c

t
∵P在第一象限∴k＞

b

c

S△PBF1

S△PF1F2

=

b-kc

2kc

∴S△PBF1=

b-kc

2kc

t
∴2t=

a-c

2c

t+

b-kc

2kc

t
∴4kc=ak-ck+b-kc
∴k（6c-a）=b
∴k=

b

6c-a

∴

b

6c-a

＜

b

c

∴

1

5

＜e＜1
又由已知e∈[

1

4

，1)，
∴e∈[

1

4

，1)，
∴k²=

b2

36c2-12ac+a2

=

a2-c2

36c2-12ac+a2

=

1-e2

36e2-12e+1

=

1-e2

(6e-1)2

（令m=6e-1，∴e=

m+1

6

）
=

1-(

m+1

6

)2

m2

=

1

36

×

36-m2- 2m-1

m2

=

1

36

×（

35

m2

-

2

m

-1）
∵e∈[

1

4

，1)，
∴

1

2

≤m＜5
∴

1

5

＜

1

m

≤2∴0＜k²≤

15

4

∴0＜k≤

15

2

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其求法，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，有一定的运算量

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=1(a＞b＞0)过点C(

)且离心率为

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，λ∈(-1，0)．
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=1．
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=1（a＞b＞0）的离心率为

，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点且△BF₁F₂的周长为4+2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明由..

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|OF₁|．
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（2）当点M在椭圆上变化时，求证：∠F₁MF₂的最大值为

；
（3）设圆x²+y²=r²（0＜r＜b），G是圆上任意一点，过G作圆的切线交椭圆于Q₁，Q₂两点，当OQ₁⊥OQ₂时，求r的值．（用b表示）

如图，已知椭圆

=1(a＞b＞0)过点(1，

)，离心率为

，左、右焦点分别为F₁、F₂．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）证明：

=2；
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