Question

已知椭圆,过点P(2,1)作一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程.

Answer 1

解法一：如图,设所求直线的方程为y-1=k(x-2),

代入椭圆方程并整理,得

(4k²+1)x²-8(2k²-k)x+4(2k-1)²-16=0,

又设直线与椭圆的交点为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则x₁、x₂是上面的方程的两个根,

∴x₁+x₂=

∵P为弦AB的中点,

∴

解得k=-,

∴所求直线的方程为x+2y-4=0.

解法二：

设直线与椭圆交点为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则

∵P为弦AB的中点,

∴x₁+x₂=4,y₁+y₂=2.

又∵A、B在椭圆上,

∴x₁²+4y₁²=16,x₂²+4y₂²=16.

两式相减,得(x₁²-x₂²)+4(y₁²-y₂²)=0,

即(x₁+x₂)(x₁-x₂)+4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0.

∴

即k_AB=-.

∴所求直线方程为y-1=-(x-2),

即x+2y-4=0.

解法三：

设所求直线与椭圆的一交点为A(x,y),另一交点为B(4-x,2-y),则

∵A、B在椭圆上,

∴x²+4y²=16,                              ①

(4-x)²+4(2-y)²=16.                      ②

从而A、B在方程①-②的图形x+2y-4=0上,而过A、B的直线只有一条,

∴所求直线的方程为x+2y-4=0.绿色通道：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件,灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系.例题中的方法一是设出方程,根据中点坐标求出k;方法二是“设而不求”,即设出交点坐标,代入方程,整体求出斜率;方法三最简便,但是不容易想出.