Question

已知椭圆C过点P（1，

3

2

），两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₁的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，将P的坐标代入椭圆的方程得到关于a，b的等式，再根据椭圆的三个参数的关系列出关于a，b，c的另一个等式，解方程组求出a，b的值即得到椭圆的方程．
（2）设出直线AB的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理表示出中点的坐标，消去参数m得到中点的轨迹方程．

解答：解：（1）由题意可知，c=1，a²=b²+1
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）…即

x2

1+b2

+

y2

b2

=1
因为点P在椭圆上，所以

1

1+b2

+

9

4b2

=1，解得b²=3，
所以椭圆方程为  

x2

4

+

y2

3

=1
（2）解：设过点F₁的直线方程为：x=my-1
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：

(my-1)2

4

+

y2

3

=1
整理得（3m²+4）y²-6my-9=0y1+y2=

6m

3m2+4

同理可得：x1+x2=

-8

3m2+4

设线段AB的中点为M（x，y），则

x= x1+x2 2 = -4 3m2+4 y= y1+y2 2 = 3m 3m2+4

整理得：3x²+4y²+3x=0
当y=0时，易知线段AB的中点为原点，满足上述方程．
综上所述，所求的方程为：3x²+4y²+3x=0

点评：求圆锥曲线的方程问题，一般利用待定系数法，注意椭圆中的三个参数的关系与双曲线中的三个参数关系的区别；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理找突破口．