Question

过半径为R的球面上一点M作三条两两垂直的弦MA、MB和MC．

(1)求证：MA²＋MB²＋MC²为定值；

(2)求三棱锥M－ABC的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)取小圆的直径MN，连结BC、AN、O．∵MB⊥MC，∴BC为圆M直径；MA⊥MB且MA⊥MC，可得MA⊥平面MBC，∴MA∥O且MA⊥MN　∴AN是大圆O的直径． 　　由球的截面性质可得： O2＝OM2－M2　O＝MA M＝BC＝ 　　∴(MA)2＝R2－()　∴MA2＋MB2＋MC2＝4R2为定值， 　　(2)V＝×MB×MC×MA 　　∴V2＝MA2MB2MC2≤＝ 　　∴V≤ 　　当且仅当MA＝MB＝MC时等号成立．