Question

（08年三校联考）（12分） 如图，在长方体ABCD―A₁B₁­C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，E是A₁A的中点.

   （Ⅰ）求证：

   （Ⅱ）求二面角E―BD―A的大小；

   （Ⅲ）求点E到平面A­₁BCD_1­­的距离.

 

Answer 1

解析：解法一：

   （I）连结AC交BD于点O，则O是AC的中点. 连结EO.

        有A₁C∥EO.

        ∵EO平面BED，A₁C平面BED，

        ∴A₁C∥平面BED………………………………4分

   （II）∵AC⊥BD于O，

        又∵E是AA的中点，∴EB=ED.

        ∴EO⊥BD.

        ∴∠EOA是二面角E―BD―A的平面角.

        在Rt△EAO中，EA=AA₁=2，AO=AC=

        ∴tAnEOA=

        二面角E―BD―A的大小是…………………………………8分

   （III）过点E作EF⊥A₁B于F.

         ∵A₁D₁⊥平面A₁B₁BA，EF平面A₁B₁BA，

         ∴A₁D₁⊥EF且A₁B∩A₁D₁=A₁.

         ∴EF⊥平面A₁BCD₁.…………………………………………………………9分

         则EF的长是点E到平面A₁BCD₁的距离.…………………………………10分

         ∵且A₁E=2，A₁B=5，AB=3，

         ∴EF=即点E到平面A₁BCD₁的距离是…………………………12分

        解法二：

   （I）如图建立空间直角坐标系，取BD的中点O，

        连结EO.

        A₁（0，0，4），C（3，3，0），

        E（0，0，2），O（…………2分

        ，

        ，∴A₁C∥EO.

        ∵EO平面BED，A₁C平面BED，

        ∴A₁C∥平面BED.…………………………4分

   （II）由于AE⊥平面ABCD，则就是平面ABCD的法向量.…………5分

        B（3，0，0），D（0，3，0），

        设平面EBD的法向量为

        由

                   令z=3，则……………………………………………………6分

       

∴二面角E―BD―A的大小为arrccos .………………………………8分

   （III）D₁（0，3，4），则，设平面A₁BCD₁的法向量为

         

                  

即点E到平面A₁BCD₁的距离是

又…………………………………………12分